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Pour prédire la turbulence, il suffit de compter les souffles

TL’eau coule en permanence dans le laboratoire de Björn Hof.

Comme une fontaine zen, elle coule doucement au-dessus d’un réservoir dans un tube, puis dans un tuyau en verre de 15 mètres de long, mais plus fin qu’un thermomètre en verre. Afin de garder le flux aussi lisse et serein que possible, Hof, de l’Institut de science et de technologie d’Autriche à Klosterneuberg, contrôle des conditions telles que la température et la stérilité du tube avec la plus grande minutie qu’un biologiste essayant de créer une souche de bactérie particulière.

Et dans un sens, Hof essaie de créer une variété de créatures en train de se reproduire, mais pas de créatures vivantes. Dans la perfection zen, il ajoute parfois une pointe de confusion: une infime quantité d’eau injectée par le côté du tube. Au fur et à mesure que chaque "bouffée" d’eau tourbillonnante se propage dans le tuyau, elle peut se diviser en deux bouffées, à la manière d’une bactérie qui se reproduit d’elle-même, ou peut tout aussi bien s’éteindre subitement.

Hof estime que la dynamique de cette population de bouffées est la clé d’un problème qui préoccupe les physiciens depuis plus d’un siècle: comment la turbulence commence-t-elle et de quoi s’agit-il?

Cela fait plus de 130 ans qu’un ingénieur anglais, Osborne Reynolds, a lancé l’étude de la turbulence avec une expérience pas si différente de celle de Hof. Pour rendre la turbulence visible, Reynolds a injecté un colorant dans l’eau traversant un tuyau en verre. Lorsque l’eau coulait lentement, il a découvert que le colorant traçait une ligne droite qui ne s’étalait pas – ce que les chercheurs appellent un flux «laminaire» lisse. À un débit plus rapide, le colorant serpente un peu. Mais lorsque l’eau coulait encore un peu plus vite, elle devenait brusquement turbulente: le colorant se répandait en curlicues sauvages, qui remplissaient rapidement toute la largeur du tuyau.

Le nombre critique de Reynolds pour l’écoulement dans un tuyau était très probablement la pire constante de la nature.

L’eau qui coule dans un tuyau est peut-être le régime le moins compliqué pour étudier la turbulence. Mais, étonnamment, les chercheurs n’ont toujours pas pleinement expliqué les observations de Reynolds. "Les gens me demandent:" Comment ne peut-on pas résoudre ce problème après toutes ces années? ", Déclare Tom Mullin, de l’Université de Manchester, la même université où Osborne a mené ses expériences.

Ce n’est pas que les enjeux sont faibles. Une explication détaillée de la turbulence dans les conduites pourrait aider à éclairer la transition vers la turbulence dans un large éventail de contextes. Comprendre comment minimiser les turbulences dans l’air et les fluides pourrait en définitive aider les ingénieurs à acheminer le pétrole par le biais de longs pipelines plus efficacement et à construire des voitures moins résistantes au vent. Cela pourrait également leur permettre de mieux maîtriser les turbulences dans les situations où cela est utile, comme lorsque les vortex situés près d’une aile d’avion entraînent une couche d’air douce vers l’aile et permettent à l’avion de se poser plus lentement et plus doucement.

Au cours des 10 dernières années, le problème persistant de la turbulence dans les tuyaux a finalement commencé à révéler ses secrets. En 2004, Bruno Eckhardt de l’Université de Marburg et Rich Kerswell de l’Université de Bristol ont découvert, du moins en théorie, un troisième état insaisissable entre flux laminaire et turbulence appelé onde progressive. Ce type de vague se manifeste par des expériences telles que les bouffées que Hof crée dans son long tube de verre. En 2011, Hof et ses cinq collaborateurs ont utilisé ces bouffées pour comprendre le début des turbulences. Les bouffées, disent-ils – sans être turbulentes en elles-mêmes – sont en quelque sorte les atomes de turbulence.

«Ils ont mis la dernière pièce dans le puzzle», explique Eckhardt. "Vous pouvez débattre des détails et des chiffres, mais nous comprenons bien ce que nous devrions examiner maintenant, de sorte que nous puissions appliquer les mêmes méthodes à d’autres systèmes."


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Code Zip Liquide

Le flux de fluide (y compris le flux d’air, car l’air est une sorte de fluide) est régi par un ensemble de règles appelées les équations de Navier-Stokes, qui étaient connues même avant qu’Osborne Reynolds ait effectué ses expériences. En théorie, la compréhension du débit d’un fluide dans une conduite relève de l’ordre mathématique: indiquez les dimensions de la conduite, la vitesse et la pression de l’eau à l’entrée, résolvez les équations de Navier-Stokes et vous avez terminé.

Mais c’est plus facile à dire qu’à faire. Les équations de Navier-Stokes contiennent ce que les mathématiciens appellent une non-linéarité, une sorte de boucle de rétroaction par laquelle un vortex peut aspirer de l’énergie du reste du flux pour devenir de plus en plus puissant. Comme l’ont découvert les scientifiques dans les années 1960 et 1970, la non-linéarité est un terrain fertile pour le chaos. La moindre modification de l’écoulement, trop petite pour être détectée, peut complètement modifier son comportement ultérieur. C’est pourquoi nous avons encore du mal à prévoir le temps qu’il fera au-delà de cinq jours.

Le flux de tubes est l’un des rares cas où les équations de Navier-Stokes offrent une solution simple: le flux laminaire. Et en théorie, cette solution est stable, à la manière d’un canoë bien équilibré. Selon les équations, l’écoulement laminaire ne basculera jamais, pour ainsi dire, et chavirera dans un autre état. Mais dans la pratique, c’est toujours le cas, si l’eau va assez vite. Lorsque vous ouvrez le robinet à fond, vous ne voyez pas un flux lisse et limpide. Vous voyez un gâchis compliqué. Cela fait de l’écoulement d’une canalisation un cas d’essai important pour la turbulence: quel est le mécanisme permettant au «canoë» de basculer, quand il semble que le départ soit parfaitement équilibré?

Les bouffées ne se décomposent pas, elles se reproduisent également.

Pour ajouter à la difficulté du problème, les scientifiques ne se sont même pas mis d’accord sur la manière de définir la turbulence de nos jours. Selon qui vous le demandez, la turbulence signifie un mélange rapide, un étirement de vortex, une cascade d’énergie de tourbillons plus importants à plus petits, ou une dépendance sensible aux conditions initiales.

Pourtant, les chercheurs disposent d’une sorte d’atlas pour l’étude de la turbulence: un simple ratio, découvert par Reynolds, qui résume l’état physique d’un fluide en mouvement. Ce «nombre de Reynolds», qui combine la vitesse et la viscosité du fluide, est un excellent égaliseur qui permet aux scientifiques de décrire tous les fluides (ou presque) de la même manière. Ainsi, ils peuvent expérimenter sur une petite soufflerie et adapter les résultats à un avion, ou expérimenter sur l’eau pour tirer des conclusions sur le flux de pétrole.

Pour les chercheurs en fluides, un nombre de Reynolds est semblable à un code postal. En dessous de 1 000, où le fluide est visqueux ou lent, vous êtes dans le domaine de l’écoulement laminaire. Entre 1 000 et environ 2 000, lorsque le liquide coule plus rapidement, vous pouvez introduire un désordre, mais il va s’éteindre. Reynolds observe que le fluide subit une transition vers 2 000: il devient un environnement hospitalier propice à la turbulence. Entre 2 000 et 4 000, la proportion de fluide turbulent dans la conduite passe de presque zéro à près de 100%.

Jusqu’à présent, les chercheurs de Fluid ont eu du mal à comprendre ce qui se passait lors du passage à la turbulence et même à déterminer exactement à quel nombre de Reynolds cette transition se produisait. En 2009, Eckhardt a observé que différentes versions de Wikipedia donnaient des valeurs différentes pour ce nombre critique de Reynolds: en anglais, en français et en suédois, ce nombre serait de 2 300; en allemand, 2 320; en portugais, entre 2 000 et 3 000; et en espagnol, entre 2 000 et 4 000.

Dans tout autre domaine de la physique, une telle incertitude serait un scandale. Le nombre critique de Reynolds pour l’écoulement dans un tuyau était très probablement la pire constante de la nature.

Vie et mort

L’expérience de Hof a enfin clarifié la question. L’expérience est fondée sur la découverte en 2003 par Eckhardt et Kerswell du premier authentique solutions mathématiques, en dehors de l’écoulement laminaire, aux équations de Navier-Stokes dans un tuyau. (Leurs travaux s’appuient sur une découverte antérieure par Fabian Waleffe de l’Université du Wisconsin de structures similaires dans un écoulement limité par deux plaques planes.) Ces solutions, qui commencent à apparaître entre les nombres de Reynolds 773 et 2 000, ne sont ni laminaires ni turbulentes. Au lieu de cela, ils comportent des paires de tourbillons contrarotatifs qui dérivent en aval sans se dissiper ni s’intensifier.

Ces tourbillons, appelés ondes progressives, sont purement informatiques. Ils sont instables, vous ne pouvez donc pas en produire plus en laboratoire que vous ne pouvez équilibrer une aiguille sur sa pointe. Cependant, il est possible de créer une sorte de wannabe à ondes progressives – appelé bouffée – ayant une structure similaire à une onde progressive, mais qui persiste suffisamment longtemps en laboratoire pour être mesuré.

Même si une bouffée tourbillonne, elle ne constitue pas une véritable turbulence – c’est plutôt une germe de turbulence. Contrairement à la turbulence, une bouffée est limitée dans l’espace et ne se propage pas à l’ensemble du tuyau. Peut-être plus important encore, il est limité dans le temps. Une bouffée va flotter dans le tuyau, ne montrant aucun signe de mauvaise santé, quand tout à coup – merde! – elle est partie et l’eau retourne à l’écoulement laminaire.

Eckhardt et son équipe ont été les premiers à affirmer que toutes les bouffées sont transitoires, même au-dessus du nombre critique de Reynolds. Avant son article de 2004, les chercheurs avaient supposé que les bouffées devenaient immortelles au-dessus du nombre critique, et que cette permanence expliquait le passage à la turbulence. L’expérience de Hof a prouvé que Eckhardt avait raison: les bouffées continuent à avoir une durée de vie limitée, même au-dessus de 2 000 Reynolds. Mais cela crée un paradoxe. Si les bouffées sont transitoires, comment peuvent-elles donner lieu à des turbulences en régime permanent? «C’est un sujet qui a fait l’objet de vives discussions pendant quatre ou cinq ans», explique Dwight Barkley de l’Université de Warwick, qui a collaboré à l’expérience de Hof.

Barkley et Hof comprirent que la clé était de comprendre ce qui était arrivé aux bouffées avant leur mort. Vers 1975, Israel Wygnanski, de l’Université de l’Arizona, avait remarqué qu’une bouffée se divisait parfois spontanément en deux. Les bouffées ne sont donc pas simplement en décomposition, elles se reproduisent également.

Comme les noyaux radioactifs, les bouffées ont un taux de désintégration mesurable. Personne ne peut prédire quand une bouffée disparaîtra, mais si vous avez suffisamment de bouffées, vous pouvez dire exactement quel pourcentage disparaîtra à un moment donné. De même, l’apparition de nouvelles bouffées individuelles est imprévisible, mais dans l’ensemble, la population de bouffées se reproduit à un taux prévisible. Hof, Barkley et leurs collaborateurs – Kerstin et Marc Avila de l’Université d’Erlangen, David Moxey de l’Imperial College London et Alberto de Lozar de l’Institut Max Planck de Göttingen – ont constaté qu’à mesure que le nombre de Reynolds augmentait, le taux de naissance des bouffées augmentait. alors que le taux de mortalité diminue.

Même Thomas Malthus aurait pu prédire la suite des événements. Dès que le taux de natalité dépasse le taux de mortalité, les turbulences vont se propager. C’est comme si le tuyau était surpeuplé de bouffées. Si le taux de natalité est inférieur au taux de mortalité, la turbulence va décroître. Et le lieu où les taux de natalité et de mortalité sont exactement égaux est le nombre critique de Reynolds, où se produit le passage à la turbulence.

L’apparition de turbulence: Le panneau du haut présente une image d’une seule structure de bouffée, avec un nombre de Reynolds de 2 000 (juste en dessous du début de la turbulence). À mesure que le nombre de Reynolds augmente, l’échelle spatiale de la structure diminue.Jorge Peixinho et Thomas Mullin, Université de Manchester

C’est une idée simple et belle. Mais déterminer expérimentalement le nombre critique de Reynolds vers le bas n’était pas chose facile. Lorsque le flux approche le nombre critique de Reynolds, la demi-vie d’une bouffée augmente considérablement. Dans un tuyau de 1 centimètre de diamètre, on s’attendrait à ce que la moitié des bouffées disparaissent avec un nombre de Reynolds de 1 800, après avoir parcouru un mètre seulement. Mais si vous le portez à 2 000, il vous faudrait un tuyau de plus de 60 km de long pour voir la moitié des bouffées disparaître. Il était hors de question de construire un tuyau aussi long, et les simulations sur ordinateur ne feraient pas l’affaire non plus, car les meilleurs supercalculateurs actuels sont environ mille fois trop lents pour le travail.

Il y avait néanmoins une voie à suivre. Comme le souligne Barkley, «nous connaissons la demi-vie de beaucoup de choses. Pour le carbone 14 (dont la demi-vie est de 5 730 ans), nous le savons non pas en regardant un seul atome pendant 5 000 ans, mais en surveillant un grand nombre d’atomes. "De même, vous pouvez estimer les taux de natalité et de mort des bouffées. en regardant une grande collection d’entre eux en action. Hof a construit un générateur de bouffées automatique et a envoyé environ un million de bouffées par son tuyau de 15 mètres, suffisamment pour que quelques centaines de bouffées se décomposent ou se reproduisent.

Les chercheurs ont constaté que les taux de natalité et de mortalité étaient égaux à un nombre de Reynolds de 2 040. C’était une justification pour Reynolds, dont l’expérience en 1883 se rapprochait davantage de la bonne réponse que la plupart des entrées de Wikipedia de 2009.

Au-delà des tuyaux

Barkley, Hof et d’autres pays dépassent maintenant le chiffre de Reynolds (2 040) pour comprendre ce qu’il advient des écoulements turbulents une fois qu’ils ont atteint la zone de transition. Contrairement aux observations de Reynolds, l’écoulement ne devient pas entièrement turbulent d’emblée: les zones turbulentes sont parsemées de régions lisses. Si deux ou trois bouffées d’affilée meurent sans se reproduire, ce qui peut facilement arriver si le nombre de Reynolds n’est que légèrement supérieur à 2 040, vous obtiendrez alors une longue section d’écoulement laminaire.

Eckhardt et Waleffe souhaitent quant à eux élargir l’idée des bouffées à d’autres structures turbulentes, telles que le flux d’air au-dessus d’une aile d’avion. Le nombre de Reynolds dans cette application n’est pas constant, mais commence à zéro sur le bord d’attaque de l’aile et atteint 10 millions ou plus au bord de fuite. Des structures intelligemment conçues pourraient avoir un impact significatif lorsqu’elles sont placées sur les parties de l’aile où se produit la transition vers la turbulence. De nombreux avions possèdent déjà de petites ailettes verticales sur les ailes, appelées générateurs de vortex, conçues pour augmenter de manière stratégique la turbulence lorsqu’un avion décolle ou atterrit. Mais, souligne Waleffe, ces structures n’ont pas été conçues à partir d’une compréhension de la physique. "Ils ont été découverts par essais et erreurs, tirant dans le noir", dit-il. Les ingénieurs aéronautiques ne s’intéressent généralement pas à l’étude de l’écoulement des fluides dans les conduites, mais il serait peut-être bon de montrer que les bouffées peuvent jouer un rôle important dans d’autres problèmes d’écoulement des fluides.

La chose la plus importante à propos des bouffées n’est peut-être pas une application particulière, mais la clarté qu’elles fournissent. Malgré (ou peut-être à cause de) toutes les différentes définitions de la turbulence, il n’existait jusqu’à présent aucun moyen de préciser son début. Les travaux du groupe de Hof suggèrent une définition claire: la turbulence se manifeste lorsque le taux de natalité des bouffées dépasse le taux de mortalité et que les bouffées sont capables de coloniser le liquide.

Eckhardt pense que cette définition, quantifiable et précise, pourrait également servir à diagnostiquer la turbulence dans d’autres applications, et pas seulement dans l’écoulement des tuyaux. Cela permettra aux chercheurs "de jauger tout ce qu’ils veulent," suggère-t-il, qu’ils ajoutent des ailettes à une aile d’avion pour favoriser la turbulence ou ajoutent des polymères à l’huile pour la décourager. "C’est toujours une bonne chose de bien comprendre les bases."

Dana Mackenzie est une rédactrice pigiste en mathématiques et en sciences basée à Santa Cruz, en Californie. Son dernier livre est L’univers en mots zéro: l’histoire des mathématiques sous forme d’équations.

Cet article a été publié à l’origine dans notre numéro «Turbulence» de juillet 2014.

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